@Astrojojo : en fait, ce qui fait que c’est contre-intuitif, c’est quand tu sais qu’il n’y a pas autant de nombres entiers naturels que de réels (il y a beaucoup plus de réels, évidemment). L’infinité de nombres dans R est beaucoup plus grande que l’infinité de nombres dans N.
Du coup, quand on en vient à étudier les nombres rationnels Q, on pense intuitivement qu’en terme de taille, R > Q > N. Chacun a un nombre infini de nombres, mais différent de l’infini des autres. Alors qu’en fait, Q et N font la même taille
[quote=“astrojojo, post:62, topic: 55500”][/quote]
En fait ce qu’il n’est pas trop difficile de prouver, c’est que si A0 (que nous lirons Aleph-zéro) est la dimension de l’ensemble des nombres naturels N, alors 2^0 = A1 est la dimension de l’ensemble des réels.
Tout ensemble infini et dénombrable est de cardinal A0, et l’ensemble des réels, qu’on peut définir comme l’ensemble des parties de N, n’est pas dénombrable. Voir la théorie sur les ensembles dénombrables et l’argument de la diagonale de Cantor. C’est compréhensible pour tout le monde si on y passe un peu de temps.
Ce qu’il est beaucoup plus compliqué de prouver, c’est qu’il n’y a rien entre A0 et A1, autrement dit rien entre l’infini des nombres entiers et l’infini beaucoup plus grand des nombres réels ^^
L’explication est super simple : N et Q sont tous les deux dénombrables.
Tu dénombres N : 1, 2, 3, 4 etc.
Tu dénombres Q de la même manière : 1/1, 1/2, 2/2, 1/3, 2/3, 3/3, 1/4 etc.
Donc à chaque X-ième élement du dénombrement de N, tu associes un X-ième élement du dénombrement de Q (peut importe que tu saches l’exprimer ou pas en fonction du X en question) : (1 -> 1/1), (2 -> 1/2), (3 -> 2/2) etc.
Donc ils ont la même taille.
[quote=“Ylrahc, post:65, topic: 55500”][/quote]
Bah en fait non. Ca revient à démontrer que R est indénombrable. Et la démonstration de la diagonale de Cantor est très abordable même par non-matheux : http://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_de_la_diagonale_de_Cantor (voir le § “La non dénombrabilité des réels”).
Et la version vidéo est encore plus abordable que Wikipedia (qui reste écrit par des matheux dans un langage de matheux).
[quote=« Histrion, post:66, topic: 55500 »][/quote]
Pas du tout. Dire qu’il y a rien entre N et R, c’est même un des problèmes de Hilbert, le 1er d’ailleurs
Tout sous-ensemble infini des réels peut être mis en bijection avec l’ensemble des entiers naturels ou avec l’ensemble des réels lui-même.
Et il a été montré que c’est indécidable dans la théorie des ensembles classiques, même avec l’axiome du choix (je ne fais que recopier wikipedia hein :P) Dire que c’est vrai est la célèbre hypothèse du continu.
Si vous partez sur les théories des ensemble, ca va rapidement devenir tres tres compliqué Ca touche au math fondamentale, et c’est bien chaud quand meme
Autant pour moi, j’avais mal lu ton explication, je pensais que tu jugeait plus difficile d’expliquer que R est indénombrable, par rapport au fait de démontrer que N et Q sont tous les deux dénombrables.
[quote=“FMP_thE_mAd, post:51, topic: 55500”][/quote]
Je trouve pas ca paradoxal du tout. C’est deux infinis denombrable et tu peux creer une bijection qui associe a chaque entier une fraction. Apres on peut essayer de presenter ca comme il y en a “autant”, mais dire “qu’il y en a autant” est, je trouve, pas rigoureux. C’est pas comme si on les comptait vraiment donc la notion d’autant est foireuse, on parle d’infinis, tu peux pas compter un infini par definition, mais tu peux dénombrer (mapper a N), ce qui est pas pareil.
Et desole mais ca m’arrache les yeux de parler de taille d’infinis. Ca existe pas, on peut faire marcher son intuition en pensant que le nombre d’elements de N est plus petit que le nombre d’element de R mais c’est techniquement un concept foireux. Les deux sont des infinis. Ils sont de type differents et ont des proprietes differentes, c’est tout. Le cours de math d’apres les infinis denombrables et indemonbrables, on parle de fonctions avec des proprietes vraies “presque partout”, ca semble super non rigoureux comme definition mais ca veut juste dire que la propriete est vrai sauf dans un endroit qu’on peut rapporter a un infini denombrable (par exemple un fonction qui vaut 1 sauf sur les entiers ou elle vaudrait 0 vaut un “presque partout” alors qu’une fonction qui vaut 1 partout sauf entre 0 et 1 ne correspond pas a la definition). Il y a plein de propriete derivees sur les fonctions “presque partout”. Ca fait parti des maths que j’ai fait avec le plus de plaisir en ecole ces trucs…
En faite, Le paradoxe qui en arrive tres vite avec l’infini, c’est l’hôtel de Hilbert. En deux mots :
Il existe une hôtel avec un nombre infini de chambre.
Toute les chambres sont occupées.
Un nouveau client arrive dans l’hôtel et demande une chambre il y a donc 2 possibilités:
1/ il parcourt toute les chambres en commençant par la 1,2,3… a la recherche d’une chambre vide : il ne trouvera donc jamais de chambre libre.
2/il fait déplacer tout le monde vers la droite d’une chambre (1->2, 2->3,3->4…) : il trouve donc la chambre 1 de libre.
" J’adore les cacahuetes. Tu bois une biere et tu en as marre du gout. Alors tu manges des cacahuetes. Les cacahuetes c’est doux et salé, fort et tendre,comme une femme. Manger des cacahuetes, it’s a really strong feeling. Et apres tu as de nouveau envie de boire de la bière. Les cacahuetes c’est le mouvement perpétuel à la portée de l’homme “. J.C. VanDamme”
[quote=« GloP, post:70, topic: 55500 »][/quote] Oui on est bien tous d’accord la dessus. Mais présenté comme je le fais dans mon message précédent, ça reste quand même surprenant si on n’a pas de notions de maths hors secondaire…
Bon mais sur ce fil, tout le monde connait le truc, alors bon. N’empêche que j’aime bien moi.
Apres on peut essayer de presenter ca comme il y en a « autant », mais dire « qu’il y en a autant » est, je trouve, pas rigoureux. C’est pas comme si on les comptait vraiment donc la notion d’autant est foireuse, on parle d’infinis, tu peux pas compter un infini par definition, mais tu peux dénombrer (mapper a N), ce qui est pas pareil.
J’avais mis « autant » entre guillemets, justement. Parce qu’effectivement tout tourne autour de la définition qu’on en prend (et la définition intuitive ne fonctionne pas pour des ensembles infinis, oui). C’est bien l’intérêt de ce paradoxe : montrer que les notions intuitives des nombres ne fonctionnent pas bien dès qu’on pousse un peu. Pédagogiquement c’est très intéressant.
Mais je vois que tu as décidé d’être rigoureux juste pour mon message. Tu n’étais pas si regardant dans ton premier message concernant la vidéo des deux gus
Sinon pour rejoindre ce que dit Ewi, je recommande ce bouquin, adapté aux enfants :
Le chat au pays des nombres :
Ca reprend les notions de nombres et d’ensembles, de manière simple mais rigoureuse (le coup de l’hôtel y est). A partir de 8-9 ans c’est très sympa.
[quote=« gandhu, post:72, topic: 55500 »][/quote]
Tu en veux un autre?
Un relativement sympa tiré des paradoxe de Zénon:
Deux personnes font une course a pied, la 1ere Alain cours deux fois plus vite que le 2eme Alex.
Alain étant sur de gagner laisse une longueur d’avance a Alex par exemple 50m.
Au bout d’un certain temps, Alain aura comblé ses 50m de retard et atteint le point de départ d’Alex
Pendant ce temps, Alex aura parcouru une certaine distance non nulle.
Cela demandera a Alain un temps supplémentaire pour parcourir cette distance, pendant lequel Alex avancera encore qui demandera a Alain un temps supplémentaire pour parcourir cette distance, pendant lequel Alex avancera encore qui demandera a Alain un temps supplémentaire pour parcourir cette distance, pendant lequel Alex avancera encore …
bref
ce paradoxe prend fin quand on sait qu’une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.
[quote=“GloP, post:70, topic: 55500”][/quote]
Bah vu que la théorie des ensembles définit rigoureusement les cardinaux de N, R, les manipule, les compare avec des strictement inférieur / supérieur, je vois pas trop ce qui te dérange dans le fait de parler de taille d’infinis. Après bien sur cela suppose de connaitre la théorie des ensembles et de s’entendre sur la définition de cardinal et les opérations qu’on peut lui appliquer, mais perso ça me dérange pas d’en parler “en français” et d’essayer de le relier à l’intuition. J’ai d’ailleurs toujours trouvé que la théorie des ensembles était contrairement à par exemple l’analyse fonctionnelle un domaine facilement manipulable sans trop de symbolique, donc agréable à faire découvrir au béotien (sans aucun sens péjoratif).
Sinon pour l’hotel de l’infini, on peut aussi y voir arriver un car infini, on attribue à chaque occupant de l’hotel n la chambre 2n (chambres paires) et à chaque passager m du bus la chambre 2m+1 (chambres impaires), et hop, tout le monde rentre ! Ce qui prouve que la taille de 2 N est égal à la taille de N, magique ! (/me est déjà dehors).
[quote=« Ylrahc, post:76, topic: 55500 »][/quote] C’est une question « bonus » que je pose souvent a mes étudiants les réponses sont souvent sympa
[quote=« Le-Captain, post:77, topic: 55500 »][/quote] C’est un des paradox que Zénon, je viens de voir sur wiki en effet qu’il le raconte avec Achille et une tortue, je le connaissais avec un flèche et un coureur aussi ^^
Terry Pratchett utilise une version mixte où une tortue va plus vite qu’une flèche dans “Pyramids” (où on apprend qui est le plus grand mathématicien du disque-monde, mais je ne ferai pas de spoil pour ceux qui ne l’ont pas encore lu).
Et le philosophe s’appelle Xeno. Un clin d’oeil aussi bien sûr.
