[quote=« AnA-l, post:40, topic: 55500 »][/quote]
haha 
[quote=“FMP_thE_mAd, post:36, topic: 55500”][/quote]
Non, tous les cadres qui sont consistants assignent -1/12, ils sont d’ailleurs tous plus ou moins “concentriques” dans le sens que toutes les méthodes de régularisation si elles permettent d’éliminer différentes sorte d’infinis restent quand meme consistantes entre elles. D’ailleurs c’est aussi pour ca qu’on en déduit des phénomènes physiques observables (pour la 30eme fois au passage) qui ne seraient pas justes ou predictibles avec un résultat au pifomètre ou tu définit ton propre “cadre” (puisqu’apparemment on change la definition de cadre) et une valeur qui est pas -1/12. C’est un “cadre” particulier qui, implicant des infinis et des régularisations, n’est pas du tout intuitif.
Mais pour faire une analogie, est ce vraiment plus contre intuitif que i^2=-1 au final? On pense meme plus a questionner tellement c’est habituel mais c’est une assignation pas plus arbitraire. “Mais si je multiplie deux nombre entre eux le résultat peut pas être négatif, ca existe pas ton truc, dans quel cadre bizarre tu te place?”. Dans le cadre qui permet de résoudre les equations polynomiales du troisième degré… De la meme manière que ce résultat permet d’obtenir des conclusions observables, et ca reste donc a des km d’une assignation arbitraire et au pifomètre au bon plaisir de celui qui cherche a régulariser ce type d’infinis.
[quote=« GloP, post:42, topic: 55500 »][/quote]
En fait on dit la meme chose. Et l’exemple que tu donnes avec C est très pertinent.
Le carré de deux réels donnent un nombre positif. C’est pour ca qu’on a introduit C, et i²=-1. Il y a des passerelle entre C et R, mais dans R, un carré est positif.
C’est donc bien une question de contexte. Ne connaissant pas les théories autours de ce -1/12, je te crois sur parole. Mais pas à partir de cette vidéo toute pourrie.
Ce qui est encore plus intéressant, c’est de voir que dans les deux cas, ces concepts ont été introduit pour résoudre des équations permettant d’expliquer des phénomènes physiques. Y’a un coté magique la dedans
[quote=“GloP, post:42, topic: 55500”][/quote]
On est bien d’accord donc. Tu ne dis pas autre chose que ce que je dis plus haut. Tout dépend du cadre.
Et je le dis au dessus : il y a des cadres plus généraux que d’autres i.e. des cadres plus pertinents que d’autres, ce que tu appelles “consistant”. Ben oui.
Et alors ?
Ca n’en reste pas moins une construction “arbitraire” au sens où au départ on définit quelque chose comme on veut. Certes parce que ça nous arrange pour différentes raisons (voir plus loin) mais ça reste arbitraire malgré tout.
Qu’il y ait des applications physiques derrière ou pas, on s’en tape en maths. Tant mieux s’il y en a. Mais ça ne change rien à la construction mathématique.
Et ton exemple avec C est pareil : au départ ça reste une construction arbitraire, et même une technique de calcul, qui servait effectivement à trouver certaines racines de polynômes Au départ ce n’est qu’un outil, d’ailleurs ; je ne sais plus qui l’utilise en premier, mais il ne l’utilise pas avec i, mais avec racine(-1) et il dit bien qu’il triche ; mais que c’est pas grave parce que ça disparait ensuite. Donc c’est juste une astuce pour arriver à ses fins.
Et pour éviter de dire n’importe quoi, on a ensuite construit C rigoureusement. A partir du fait que i^2=-1 (mais on peut le construire autrement, d’ailleurs ; notamment à partir des polynomes eux mêmes).
Comme autre exemple, je parlerai plutôt des géométries non Euclidienne.
Il y a des tas de géométries non Euclidiennes. Certaines sont plus pertinentes que d’autres (et même certaines ont aussi des applications physiques).
N’empêche que chacune est cohérente dans son propre cadre, et chacune a un sens mathématiques.
Je peux très bien si j’ai envie dire que la fonction FMP, c’est la fonction qui à 1+2+3+… associe -4678. A moi de la construire correctement, d’introduire éventuellement de nouvelles notations, pour que le cadre dans lequel je l’utilise soit cohérent. Mais ça reste une construction possible.
L’important est donc de définir dans quel cadre on travaille (“consistant” ou pas), ce que ne font pas les types dans la vidéo. S’ils ne le précisent pas, alors c’est le cadre “intuitif” ; or ce qu’ils font ne fonctionne pas dans ce cadre intuitif.
Perso, je reste persuadé qu’il y a une couille dans le potage, si vous me passez l’expression.
Contrairement à ce qu’affirme Glop, S = 1 + 2 + 3 + 4 +…, c’est bien la limite pour n tendant vers l’infini de la somme des entiers de 1 à n, de même que S1 = 1 - 1 + 1 -1 +… est la limite pour n tendant vers l’infini de la somme des (-1)^n (http://en.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_1_%2B_1_%E2%88%92_1_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7)
Et dans l’étude classique des séries, qui est un cadre tout ce qu’il y a de plus consistant, S tend vers + infini, et S1 ne converge pas. Voilà déjà pour le cadre “usuel”, utilisé par le commun des mortels jusqu’au niveau prépa, et dans lequel S ne vaut pas -1/12.
Ensuite, certains affirment qu’il existe d’autres cadres, dans lesquels S = -1/12. Déjà, pour obtenir ce résultat, il faut avoir S1 = 1/2. Or, ce n’est pas à proprement parler 1 - 1 + 1 - 1 +… qui vaut 1/2, c’est la somme de Césaro de cette série (http://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation) : un outil mathématique qui permet d’étudier les séries non convergentes, par exemple pour trouver autour que quelle valeur une série oscillante finit par se stabiliser. On peut alors décider de travailler dans un cadre dans lequel on attribue à S1 la valeur de sa somme de Césaro, d’où S1 = Césaro(S1) = 1/2, et on sort alors du cadre des mathématiques “classiques” pour lequel S1 =/= Césaro(S1) (puisque S1 ne converge pas, alors que Césaro(S1) vaut effectivement 1/2).
Apparemment, dans ce cadre, on retrouve certaines propriétés de calcul (addition, etc) qui permettent d’avoir des résultats consistants. Seulement, je ne suis absolument pas convaincu qu’on puisse formellement aboutir au résultat S=1+2+3+4+… = -1/12. Pour cela, il faudrait entre autres vérifier que les opérations valides dans le cadre choisi restent applicables aux séries dont même la somme de Césaro diverge vers l’infini, comme S (globalement, même quand on lit l’article sur l’analytic continuation linkée par Glop, on voit que les principaux théorèmes portent sur des fonctions à cercle de convergence, pas sur des fonctions complètement divergentes vers +infini). En ce qui me concerne, j’ai quand même nettement l’impression qu’on utilise un set d’outils destinés à étudier les fonctions “oscillantes” (=qui ne convergent pas, mais sont bornées à un intervalle défini), qu’on l’applique à une fonction totalement divergente, et qu’on obtient un résultat aberrant parce qu’on n’a pas respecté les conditions d’application desdits outils.
Et j’adhère pas du tout à la justification du résultat contre-intuitif en le comparant avec i² : là, on est quand même en terrain vachement connu, à savoir le nombres entiers. S reste quand même la somme de l’ensemble des nombres entiers ; il n’y a pas d’opérateur imaginaire comme i de rajouté, on travaille purement dans N.
[quote=« AAARGH, post:45, topic: 55500 »][/quote]
La je suis plus d’accord avec toi Et la comparaison avec C est justement vachement pertinente : C contient N.
Donc on peut tout à fait définir un cadre contenant N, et dans lequel la somme des entiers vaut -1/12.
C’est une construction purement mathematique, exactement comme l’est C.
Dans N, la somme des entiers tends vers l’infini, et dans cet ensemble, elle tends vers -1/12. Du moment que tout est bien défini, il n’y a rien de choquant.
Les maths restent un outils, on peut en faire ce qu’on en veut. (par contre, la video est perrave)
Elle est pas si perrave que ca vu qu’elle a generee tout plein de discussion super intéressante… c’est le but.
[quote=« Ben, post:46, topic: 55500 »][/quote]
Hum je dirais plutôt que les maths peuvent être utilisées comme outil. Mais ce n’est pas ça, à l’origine, et ce n’est surement pas QUE ça
Mais bon là on part sur un autre débat.
@Ben : Pour moi, la comparaison avec C est pertinente justement parce que C contient N, et que la somme des entiers y fait toujours +infini, et pas une valeur aléatoire.
Je suis totalement d’accord avec le fait qu’on peut définir des ensembles mathématiques bizarroïdes dans lesquels cette somme vaut -1/12, Pi ou 4872. Par contre, pour que ces ensembles aient un minimum d’intérêt, il faut qu’ils soient dotés d’opérateurs (addition, multiplication, etc) et de propriétés un minimum cohérents. C’est ça qui permet notamment de faire des démonstration, ce qui est l’objet de la vidéo (on peut tout à fait définir arbitrairement que Somme(N)=-1/12, mais là on parle plutôt de le démontrer).
Glop en particulier nous parle de cadres d’étude “consistants”, dans lesquels on pourrait aboutir au résultat S=-1/12. Je ne mets absolument pas en doute le fait qu’un cadre dans lequel S1 = 1-1+1-1+… = Césaro(S1) = 1/2 puisse être cohérent (par exemple si on prend deux suites S3 et S4 quelconques, S3+S4 = Césaro(S3) + Césaro(S4) = Césaro(S3+S4), c’est cohérent, on peut utiliser l’addition dans cet espace), et avoir des applications pratiques.
Seulement, je ne suis pas convaincu que même dans un tel cadre, on puisse aboutir à -1/12 en respectant strictement ses propriétés “cohérentes”. Déjà sur une première remarque toute bête : si on a un cadre cohérent, si S1 = Césaro(S1), alors on devrait avoir S = Césaro(S). Or, la somme de Césaro de 1+2+3+… c’est + infini. Donc soit on parle d’un espace qui réussit à être cohérent, mais dont la façon d’attribuer une valeur à chaque série diffère (j’ai un gros doute que ça soit possible), soit la démonstration de S = -1/12 viole une des propriétés de cohérence du cadre (comme le ferait une division par 0 dans R, par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Division_par_z%C3%A9ro#Comme_pi.C3.A8ge_de_raisonnement , mais en nettement moins évident vu le contexte…).
[quote=« FMP_thE_mAd, post:48, topic: 55500 »][/quote]
bin oui, et ? Dans C, tu redefinies bien le fonctionnement de la somme, du produit …
La il etends ou surcharge la définition de fonction dans cet ensemble. Je vois rien de choquant ici.
[quote=« AAARGH, post:49, topic: 55500 »][/quote]
Y’a plein d’ensemble qui en contiennent d’autre et qui modifie le comportement de differente fonction.
Dans R par exempe, racine(-1) n’est pas possible. Dans C, ca vaut i …
Je suis totalement d’accord avec le fait qu’on peut définir des ensembles mathématiques bizarroïdes dans lesquels cette somme vaut -1/12, Pi ou 4872. Par contre, pour que ces ensembles aient un minimum d’intérêt, il faut qu’ils soient dotés d’opérateurs (addition, multiplication, etc) et de propriétés un minimum cohérents. C’est ça qui permet notamment de faire des démonstration, ce qui est l’objet de la vidéo (on peut tout à fait définir arbitrairement que Somme(N)=-1/12, mais là on parle plutôt de le démontrer).
Glop en particulier nous parle de cadres d’étude « consistants », dans lesquels on pourrait aboutir au résultat S=-1/12. Je ne mets absolument pas en doute le fait qu’un cadre dans lequel S1 = 1-1+1-1+… = Césaro(S1) = 1/2 puisse être cohérent (par exemple si on prend deux suites S3 et S4 quelconques, S3+S4 = Césaro(S3) + Césaro(S4) = Césaro(S3+S4), c’est cohérent, on peut utiliser l’addition dans cet espace), et avoir des applications pratiques.
Seulement, je ne suis pas convaincu que même dans un tel cadre, on puisse aboutir à -1/12 en respectant strictement ses propriétés « cohérentes ». Déjà sur une première remarque toute bête : si on a un cadre cohérent, si S1 = Césaro(S1), alors on devrait avoir S = Césaro(S). Or, la somme de Césaro de 1+2+3+… c’est + infini. Donc soit on parle d’un espace qui réussit à être cohérent, mais dont la façon d’attribuer une valeur à chaque série diffère (j’ai un gros doute que ça soit possible), soit la démonstration de S = -1/12 viole une des propriétés de cohérence du cadre (comme le ferait une division par 0 dans R, par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Division_par_zéro#Comme_pi.C3.A8ge_de_raisonnement , mais en nettement moins évident vu le contexte…).
Sauf que pour dire ca, faudrait rentrer vraiment dans le sujet. Sans savoir ce qui est défini ni comment, tu peux pas parler de cohèrence
Et la je suis pas sur d’avoir ni le temps, ni les capacités de comprendre les démonstrations associées.On peut toujours transposer ce que tu dis à C : « je suis pas sur qu’on puisse manipuler des racines de nombre négatifs en restant cohèrent ».
Quand tu dis par exemple :
S3+S4 = Césaro(S3) + Césaro(S4) = Césaro(S3+S4), c’est cohérent, on peut utiliser l’addition dans cet espace)
on en sait rien
tu sais rien des propriété de l’addition dans cet ensemble. Il est commutatif ? associatif ? La tu supposes qu’il est associatif, mais il l’est peut etre pas.Bref, si tu veux vraiment aller plus loin, va falloir se manger les pages de définition du truc
[quote=« Ben, post:50, topic: 55500 »][/quote]
Je n’étais pas choqué non plus hein, j’essayais juste de préciser que ce n’était pas qu’une question d’ensemble. Il ya bien besoin de rédéfinir les fonctions, oui.
Y’a plein d’ensemble qui en contiennent d’autre et qui modifie le comportement de differente fonction.
Dans R par exempe, racine(-1) n’est pas possible. Dans C, ca vaut i …
Non, justement. Dans C non plus Racine(-1) n’existe pas… Dans C, tu définis une autre fonction ; mais ce n’est pas la fonction Racine « usuelle ». Même si par abus de langage on peut parfois noter Racine(-1), ça n’en reste pas moins une erreur, que tu sois dans C ou dans R.
C’est pareil pour la fonction Zeta de Rieman dont on parle ici.
Celle qui permet d’arriver à ce que 1+2+3+… soit assigné à -1/12, n’est plus la même fonction. C’en est une autre (qui en est une extension).
Sauf que pour dire ca, faudrait rentrer vraiment dans le sujet. Sans savoir ce qui est défini ni comment, tu peux pas parler de cohèrence
Oui, voilà
Il faudrait une idée claire de la structure utilisée pour pouvoir discuter plus de tout ça.En attendant je remets mon petit paradoxe que j’aime bien : « il y a autant d’entiers naturels que de nombres fractionnaires »
C’est plus simple mais si vous connaissez pas le truc c’est surprenant.
[quote=« Ben, post:50, topic: 55500 »][/quote]
Si, j’ai quand même vérifié avant de l’écrire, histoire de pas écrire -trop- de conneries 
.
[quote=“AAARGH, post:49, topic: 55500”][/quote]
En fait si, on peut aboutir à -1/12 en respectant plein de propriétés de cohérence, c’est même la seule valeur à laquelle on peut aboutir et plusieurs systèmes de sommation cohérents entre eux mais pas forcément de la même puissance donnent la même.
C’est ce que j’essaie d’expliquer dans le post initial : quand la sommation de Césaro échoue, on utilise d’autres méthodes de sommation (une des plus efficaces est la sommation d’Abel, évoquée dans l’article wikipedia sur les séries divergentes). La méthode de Césaro habituelle elle-même est l’itération à l’ordre 1 de la méthode de Césaro générale (moyenne, moyenne des moyennes, etc), et une série non 1-Césaro sommable peut être 2 ou 3-Césaro sommable, et dans ce cas la somme trouvée est identique à la somme trouvée par sommation d’Abel.
Et c’est là en fait tout le challenge des séries divergentes : définir de nouvelles méthodes de sommation et trouver les liens de cohérence entre elles, c’est à dire l’ensemble de celles qui donne le même résultat pour toute suite, divergente ou non. La valeur “naturelle” d’une somme sera alors celle trouvée par la majorité des méthodes de sommation classiques, pourvues qu’elles en trouvent une.
[quote="FMP_thE_mAd, post:51, topic: 55500"][/quote]
Trop simple, alors je dirai rien :P Je connais même 2 façons de le démontrer, dont une tout à fait élégante et inhabituelle, voir ici pour plus d'infos.
En attendant je remets mon petit paradoxe que j'aime bien : "il y a autant d'entiers naturels que de nombres fractionnaires" :) C'est plus simple mais si vous connaissez pas le truc c'est surprenant. :)
Oui, c'est intéressant :) La demo est assez simple, mais effectivement, c'est complétement contre-intuitif (plus que paradoxale). En fait, quand on manipule les infinis, y'a vachement de truc contre intuitif :) Du coup, on doit pouvoir dire que l'infini est contre intuitif :D
[quote=“Ben, post:54, topic: 55500”][/quote]
Y a pas une phobie de l’infini qui existe ?
[quote=« Ylrahc, post:53, topic: 55500 »][/quote]
Je connaissais pas cette facon de faire Je connaissais le dénombrement par affectation d’un entier à x/y
[quote=“FMP_thE_mAd, post:51, topic: 55500”][/quote]
Euh désolé mais je vois pas trop le paradoxe (ça me parait logique/normal). C’est moi qui suit pas normal où je manque quelque chose ?
[quote=« astrojojo, post:57, topic: 55500 »][/quote]
c’est contre intuitif ^^
Pour beaucoup de monde, y’a plus de chose dans l’infini + quelques choses que dans l’infini tout court.
Donc comme Q est formé de p/q avec p et q dans N, on se dit intuitivement qu’il y a plus de monde dans Q que dans N.
Or Q est equipotent à N. D’ou la remarque de FMP.
Mais si tu as etudiés ca un jour, ca te parait logique finalement que ce soit pas le cas
[quote=“Ben, post:58, topic: 55500”][/quote]
Oulah non j’ai pas étudié ça : j’essaye de suivre le thread, mais je me sens comme une moule devant un PC :D.
Mais ok effectivement vu comme ça, je comprends mieux merci :).
Dis encore plus simplement :
Entre 0 et 1 il n’y a que 2 entiers naturels : 0 et 1.
Entre 0 et 1 il y a pourtant une infinité de nombres fractionnaires : par exemple 1/1 ; 1/2 ; 1/3…
Donc intuitivement on pense qu’il y a beaucoup plus de nombres fractionnaires que de nombres entiers.
Pourtant, non, c’est « le même infini »
Très sympa la démo de Ylrahc !!! Je ne connaissais pas !